Construction and Classification of Exact Jacobi Elliptic Traveling-Wave Solutions for the Coupled Whitham–Broer–Kaup System via the Generalized F-Expansion Method

تتناول هذه الدراسة نظام ويذام–بروير–كاوب (WBK) المقترن غير الخطي، وهو نموذج نمطي لانتشار الموجات المشتِّتة في المياه الضحلة، حيث تمثّل  السرعة الأفقية للمائع و ارتفاع السطح الحر. وتُستخدم طريقة التوسيع المعمَّمة (F-expansion)، ضمن إطار دوال جاكوبي الإهليلجية، لاشتقاق حلول موجية متنقلة دقيقة. ويؤدي التعويض  إلى اختزال النظام إلى معادلة تفاضلية عادية واحدة من الرتبة الثانية. وتُثبَّت ثوابت التكامل عند ، وهي الحالة الجزئية ذات المستوى الخلفي الصفري لثوابت التكامل التي تبسِّط النظام المختزل، وليست شرطًا حدّيًا نقطيًا مفروضًا على المقاطع الدورية نفسها؛ إذ تبقى هذه المقاطع حلولًا كلاسيكية منتظمة على مجالات مقتطَعة الأقطاب، ولا تؤول إلى أشكال موضعية ملساء إلا على فروع خاصة (الملاحظة 1). ويُفضي افتراضٌ كسري متوازن في دالة مساعدة  تحقق معادلة تفاضلية رباعية من الرتبة الأولى إلى عشرة تمثيلات مغلقة دقيقة للحلول، مستقلة جبريًا: خمسة منها حقيقية القيم على كامل مدى معاملاتها المعلَن، وأربعة فروع شكلية مركّبة القيم لكل قيمة للمعامل، وواحد (الحالة 4) مركّب على معظم مدى المعامل لكنه حقيقي على مدى جزئي مكمِّل لم يُذكر سابقًا عند اختيار إشارة مترابطة للسعة (الملاحظة 5)؛ أما التمثيلات الخمسة الإضافية الناتجة عن تطبيق التعويضات العكسية لدوال جاكوبي عليها فهي مطابقة جبريًا لتمثيلات محسوبة سلفًا، ولذا دُوِّنت دون أن تُجدوَل مستقلة (الجدول 2). وقد تُحُقِّق من كل عائلة بالتعويض الرمزي المباشر في المعادلة المختزلة (الملحق A). ونبيّن أن العائلات الكسرية المركَّبة (ثنائية الطرف)، أي الحالات 7 و8 و9 و10، مستقلة بنيويًا عن طريقة التوسيع الكسري للمعادلة الإهليلجية لـ Chen et al. (2005) – التي معادلتها المساعدة رباعية كذلك، ويتضمن تعدادها الدوال المساعدة المركَّبة نفسها – وذلك عبر حجة المحدودية المطبَّقة على افتراضَي حقل السرعة في الطريقتين (التمهيدية 1). وتُعرض في القسم 7 مقاطع موجية تمثيلية محسوبة مباشرة من الصيغ المغلقة مع اقتطاع صريح للأقطاب؛ وعلى وجه الخصوص نصحّح خطأً ورد في معالجة سابقة لهذه المادة، ونبيّن أن النهاية المنعزلة  للحالة 1 لا تقترب من موجة الانتقال الملساء الكلاسيكية لـ Xie et al. (2001) – إذ تبقى شاذّة عند أصفار الدالة  – وأن موجة الانتقال الملساء هي بدلًا من ذلك فرعٌ منحلّ مستقل للنظام الجبري الأساسي. وأخيرًا، بما أن المعادلة المساعدة (3) ثنائية التربيع في ، نبيّن (القسم 6.3) أن كل عائلة في الجدول 1 تقبل، إلى جانب صيغتها الجاكوبية، تمثيلًا مغلقًا مكافئًا بدالة فايرشتراس الإهليلجية، مع ثابتَي لاتغيُّر  معطَيَين صراحةً بدلالة ، ومُتحقَّق منهما رمزيًا وعدديًا (الملحق C) – وهي نتيجة توحيدية حاولت محاولةٌ لاحقة لتوسيع هذه المادة الوصول إليها لكنها لم تتمكن من إثباتها بدقة، لأن فروعها الإضافية اعتمدت على معاملات غير معرَّفة لا ترتبط بالنظام الجبري الحاكم (12). كما نحلّ الحالة  التي تُركت مفتوحة أعلاه: إذ تمتد كل عائلة في الجدول 1 إلى عائلة ذات معامل واحد بمستوى خلفي غير صفري للسطح الحر، تُحصَّل باستبدال  بـ  في  تحت قيد التوافق  (النظرية 1)، مع التحقق منها بدقة 50 رقمًا مقابل نظام المعادلات التفاضلية الجزئية الأصلي غير المُكامَل. ويقتصر هذا العمل على إنشاء حلول موجية متنقلة دقيقة؛ فلا يُدَّعى فيه أي استقرار ديناميكي أو طيفي، ويُترك الاستقرار لتحليل مستقل (القسم 9).